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El Teorema de Pitágoras. Un teorema que brilla por su sencillez

El Teorema de Pitágoras. Un teorema que brilla por su sencillez

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero. También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo. En este artículo se ve su definición y algunas de sus muchas demostraciones, y se muestran algunas aplicaciones a través de ejemplos.

| etiquetas: matemáticas , educación
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Comentarios destacados:                          
#16 el conocido teorema de Pitágoras es muy anterior a los pitagóricos. Vamos, que es sumerio. La cosa con los pitagóricos es que de ahí sacaron cosas como que existían los inconmesurables (los irracionales en lenguaje moderno) cosa que contradecía todo su bello concepto del mundo como relaciones entre enteros. En realidad zumbados estaban, y mucho.
#22 Qué me gusta la palabra zumbados y matemáticos juntas... ah... es todo un placer que la gente pueda pensar tan fuera de la caja. :-)
#22 este comentario tendría que estar destacado. Especialmente la parte "el conocido teorema de Pitágoras […] es sumerio".
#29 Sumeria es bastante flipante como civilización, pero como nos ha tocado ir destruyendo sus yacimientos arqueológicos para no sé qué de geopolítica y petróleo pues sabemos menos de la cuenta. Para muestra que medimos tanto los ángulos como las horas en sexagesimal porque la astronomía en la que se basa todo esto es sumeria.
#49 Hay que decirlo más. La peña se flipa con Egipto, que mola, y desconoce Sumeria, que en algunas cosas mola más.
#51 con eso yo (especialización en Mesopotamia) tengo una "pelea" primordial con mi novia (egiptóloga). Yo le digo que en Egipto eran unos flipados y que perdieron la Batalla de Qadeš, jejeje y ella me dice que de las pirámides quedan en pie y de las ziqqurats solo restos.
#31 www.meneame.net/c/30227941 / www.meneame.net/c/29957313 :-) ¿qué hicieron los sumerio por nosotros?
#22 crecemos imaginando a Pitágoras como una especie de Simón o Pedro Duque y a lo mejor estaba más cerca de un Charles Manson de las matemáticas.
#30 ¿Simón o pedro duque?
No entiendo que quiere decir.
¿Es que a pitágoras se le ve como un sabio filósofo?¿Y que simón o pedro duque son sabios filósofos (o científicos) de la importancia de, no sé, Arquímedes o Galileo?
#30 sí, yo he crecido imaginando a Pitágoras como un astronauta. Ah no, si acaso el profesor Pi y Tágoras de Los mundos de Yupi
#30 ¿Sí? ¿Pitagoras también hizo predicciones erróneas que significaron la muerte de decenas de miles de compatriotas? Qué cosas.
#3 Gracias por la explicación. No es mi intención hacerlo. Solo pretendo divulgar lo que considero que puede interesar y ser de ayuda a otras personas. Desconocía que no pudiese ser de mi propia autoría.
#4 Por nada, puede ser pero con bastante moderación... pongamos 1/6 en mi opinión.
#4 Sí que puedes dar a conocer tu web, aunque no abusar porque se considera spam.
#12 Muchas gracias. Lo tendré en cuenta.
#13 No hay de qué, un abrazo, Amadeo.
#4 Si quieres divulgar también puedes usar la opción crear artículo que encuentras al entrar en tu perfil.

Ese artículo que crees, siempre tendrá muchas opciones de llegar a portada y se mantendrá en el top durante varias horas, haciendo uso de esa opción.
#43 Muchas gracias por la información. Soy nuevo aquí y tengo mucho que aprender.
#62 Muchas gracias por tu aporte, guardo el sitio para sacar información para mis clases :-)
#73 ¡Genial! Espero que te guste y te sea útil. Para eso lo hago, para divulgar matemáticas y ayudar a otros compañeros también.
#43 nunca he sido capaz de crear un artículo o es que no sé cómo publicarlo. Tengo la duda de si es que no sé publicarlo o es que me lo censuran.
#4 Por mi puedes publicar cada día un artículo tuyo, son todos muy muy interesantes. Una pena que una norma lo impida, en este caso.
#87 Te lo agradezco muchísimo. Me encantaría poder hacerlo, pero no quisiera hacer algo que infringiera las normas.
Una de las cosas más curiosas que lei sobre el teorema de Pitágoras provenía de un ejercicio mental: ¿cómo te comunicarias con una civilización extraterrestre? Es decir: un día te encuentras solo en mitad del bosque con una nave extraterrestre y con sus tripulantes. ¿Cómo te comunicas con ellos? Es capital que les comuniques una idea: que eres un ser inteligente, porque para ellos, que nunca te han visto, podrías ser tan despreciable como una hormiga.

Obviamente, ellos no conocen nuestro…   » ver todo el comentario
#17 Ted Chian, "La historia de tu vida"
Relato que merece muuuuuucho la pena, sobre comunicación con extraterrestres.
#20 Ted Chiang, perdón, perdí la g
#20 Premio Nébula a novela corta y premio Theodore Sturgeon Memorial. {0x1f44d}
#25 No es para menos, bien entramado el estilo literario, el desarrollo de lo lingüístico, el concepto físico subyacente...
#20 No he leido el libro pero sí vi la película La Llegada en la que está basado. Por cierto que todo el tema de comunicación audiovisual con los extraterrestres lo desarrolló el "infame" (por el proyecto de simplificación de teoría física) Stephen Wolfram con su hijo blog.wolfram.com/2017/01/31/analyzing-and-translating-an-alien-languag
#35 no he visto la peli, pero Ted Chiang me parece un escritor la mar de interesante y molan muchos de los relatos.
Y Greg Egan... pero es que Greg Egan son palabras mayores si te gustan las mates.
#17 He recordado a a mi tío, albañil, que utiliza el teorema de firma similar. Lo hace y no sabe el por qué ni que utiliza el Teorema de Pitágoras. Cuando no dispone de escuadra para sacar un ángulo recto tira de dos cordeles muy finos unidos al a un punto (la esquina que deberá ser dos paredes en ángulo recto) Estos dos cordeles (catetos) estarán marcados en 60 y 80 cms. Ahora sólo tiene qué abrir o cerrar el ángulo hasta que la distancia entre marcas sea 100cms. Hace cosas similares con todo porque así se las enseñaron pero no sabe de dónde proceden.
#28 Igual que los jardineros trazaban arriates en elipse con dos estacas y una cuerda, sin tener ni idea de las matemáticas que hay detrás.
#80 Esas cosas que a lo mejor incluso se pasaban de generación en generación en los oficios.
#11 El quinto axioma dice que por un punto externo a una recta pasa exactamente una recta paralela a la antes dicha.
Se intentó durante siglos demostrarlo a partir de los 4 postulados anteriores hasta que se intentó hacer geometrías cambiando el axioma por otros. Esto dio lugar a la geometría riemanniana cuando se decide que no hay ninguna paralela y la de Bolyai o Lovachewsky cuando se decide que hay infinitas. Se encuentran modelos de ambas geometrías por lo que se demuestra la independencia del quinto postulado.
Además ambas geometrías tienen muchísimas aplicaciones hoy día.
Es sencilla cuando ya está descubierta.
#6 Tienes mucha razón. Su expresión es muy simple, pero nada evidente haber llegado a ella en su momento. Por eso tiene tanta belleza, por todo lo que encierra y la enorme utilidad que ha tenido y tiene desde hace tanto tiempo.
#7 y luego todo se complica, porque depende de la validez del quinto postulado de euclides y bla, bla, bla...
#9 Ese que dice que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
#7 #6 En estos casos, como lo de los tubos y arquimedes, yo habia leido que si que se descubrio el concepto mas basico desde hace hasta miles de años, lo que pasa que no habia metodos para guardar la informacion como el papel eficientemente y se perdian una y otra vez vueltos a descubrir independientemente sin desarrollar ( lo mas importante ) y sin popularizar, hasta que llego Pitagoras, Arquimedes etc
#34 El trabajo de Arquímedes es extraordinariamente original comparado con sus coetáneos y anteriores.
#34 Recuerdo haber visto un documental que mostraban los valores de dicha formula en tablillas babilonicas, mucho antes que Pitagoras.
#7 Un buen artículo, bien redactado e interesante, pero si me aceptas la crítica constructiva, me esperaba usos y aplicaciones más enrevesados o llamativos, todos esos ejemplos ya los enseñan como ejercicios en el instituto, o al menos yo los vi en su día. Estoy seguro de que se le saca mucho más partido que para casos así.

Por lo demás todo mi apoyo, hace falta más divulgación en esta sociedad.
#74 Es cierto. Lo hice pensando en mis clases de 1° y 2° ESO, como punto de partida. Después ya en clase amplío con otros ejemplos y aplicaciones, además de curiosidades. Gracias por tu comentario.
#1 ¿Qué quiete decir eso? No sé si he hecho algo que no debiera. Un saludo.
#2 Intuyo vas a hacer spam -aún no-, enlace de las normas de uso. Sl2
#2 Hola Gausstagora, quisiera polemizar sobre tu segunda afirmación de que es posible conocer si un triangulo es rectangulo si cumple la ecuación. No se si lo he entendido bien, pero si fuera así parece bastante obvio que es posible encontrar un triangulo no rectangulo cuyos lados cumpla la igualdad. Tu segunda afirmación parece no ser correcta.
#91 Ten en cuenta que solamente los triángulos rectángulos cumplen el Teorema de Pitágoras. Cualquier otro triángulo que no sea rectángulo no va a cumplir con esa igualdad.
#93 Es justamente lo que estoy diciendo. Deben existir triangulos cuyos lados cumplen la igualdad pero no son triangulos rectangulos. Solo habria que elegir dos longitudes de catetos. calcular la hipotenusa a partir de ellos usando la formula. Utilizar la hipotenusa por ejemplo de base y cruzar las circunferencias con un compas con las medidas de los catetos. Solo habria que tener cuidado de elegir valores de catetos cuya suma fuera menor que la base para que los trazos se cruzasen.
He parado…   » ver todo el comentario
#93 "cuya suma fuera menor que la base para que los trazos se cruzasen." quise decir mayor y no menor.
#93 Me he dado cuenta que las arcotangentes suman 90 con lo que seria rectangulo. Con lo que estoy probablemente equivocado.
#97 Acabo de leer tis comentarios, y veo que tú mismo te has dado cuenta de que si cumplen el Teorema de Pitágoras son rectángulos necesariamente.
#1 Ojalá todo el spam fuera de divulgación, en mi opinión se permite este envío si o si.
C/c #0
#55 Curioso por tu nick: teorema de Abel: las ecuaciones de grado mayor o igual que 5 no son resolubles por radicales. Es decir, que no se pueden despejar, salvo casos de esos en los que usando "truquis" se van descomponiendo en cosas más chicas, pero son casos muy excepcionales.Se suelen resolver numéricamente, pero con la capacidad de cálculo de hoy día es suficiente aproximación para casi cualquier propósito práctico.
Si tienes un ángulo fijo lo que quites de un ángulo se pasará al otro, si no el triángulo se rompe.

Lo que me parece más fáscinante es que realizaran ejercicios geométricos con medios muy parcos y con una numeración que no era la nuestra. Muchas veces lo escritos eran sin números, si no literal, por escrito todo, sin cifras.
#15 Para mi tema de oposición de lenguaje algebraico, que no me cayó, uno de los puntos que llevaba era la versión de Euclides de la fórmula (a-b)(a+b)=a²-b², tomada de una traducción de "los elementos"
No la recuerdo literalmente, pero las risas.
#23 ¿Te refieres a la demostración geométrica de Euclides de la suma por diferencia? También hablo en mi blod de ella.
Buena explicación.
Un caso especifico del teorema de Ptolomeo :troll:

www.youtube.com/watch?v=bJOuzqu3MUQ
A los que tenemos cierta edad, yo tengo 60, nos sorprende como las buenas explicaciones nos hacen entender el mundo que nos rodea. A mi me meterion los catetos y la hipotenusa a base de leches. Acabamos pensando que Pitagoras era un señor.muy malo.que estaba pensando siempre en como.joder a los pobres niños que estabamos en clase en manos de unos profesores, salvo algunas excepciones, que eran unos desalmados
#32 Es verdad el dicho antiguo de que la letra con sangre entra, pero no ha de ser con la del niño, sino con la del maestro.
María de Maeztu
#32 No te quejes, los que andamos por los 50 empezamos a estudiar matemáticas con todo eso de los diagramas de Venn y la teoría de conjuntos, conceptos que seguramente no entendía en profundidad ni el pobre profe al que le tocaba explicarlos. Fue suficiente para que acabase odiando a las matemáticas para el resto de mi vida, con una ingeniería de por medio incluida.
#65 el grado de una ecuación es el del término de mayor grado que aparezca en ella.
El autor habla de una equación de segundo grado de la forma x^2 = 14 + 5, ¿es realmente una equación de segundo grado cuando hay solución directa?.
#50 ¿A qué te reiferes con "solución directa"?
Si te refieres a que sea entera o racional, pues la mayor parte de las ecuaciones de segundo grado no tienen soluciones en los enteros, para eso inventamos los reales y los complejos.

El teorema de pitágoras es un milenio y pico anterior a las ecuaciones de segundo grado, en cualquier caso.
#53 me refiero a que si yo resuelvo "x^27 = 827273" puedo afirmar que sé resolver algunas ecuaciones de 27o grado?
#50 Lo fácil o difícil que sea resolverlo no afecta a lo que es. Desde un punto de vista formal tienes p(x)=0 donde p(x) es un polinomio de grado 2. Por eso es una ecuación de segundo grado.
#63 vale, es lo que creía, que sería algo del estilo

1 * x^2 + 0 * X - 8282727 = 0

Era mi duda, si se consideraba grado dos si era incompleto.
#50 El grado indica el número de soluciones que tiene la ecuación. Grado 2: 2 soluciones. Y es siempre el mayor superindice que acompaña a la x.
X^3 + x^2 = X
Es un polinomio de grado 3, 3 soluciones, donde una solución es X=0 y dos soluciones de la ecuación X^2 +X = 1
(Alguno puede tener la tentación de simplificar la X y perder la solución X=0)
#71 Me temo que te equivocas, el grado es el mayor exponente de la incógnita, no el número de soluciones.
Dime qué dos soluciones tiene x^2 = 0, o x^2 -2x+1=0

cc #50
#81
Según el significado habitual del lenguaje tienes razón... x^2 = 0 solamente tiene una solución.

Ahora bien, según el lenguaje matemático en lugar de "soluciones" en este contexto se emplea más el nombre de "ceros" y también de "raíces"... y se dice que hay raíces múltiples.
En el caso x^2 = 0 se dice que la "raíz" o el "cero" en x=0 es doble.
¿Por qué se dice eso?
Porque todo polinomio P(x) con coeficientes reales se puede…   » ver todo el comentario
#86 No, #71 no tenía razón. En esos casos solo hay una solución, por mucho que tenga multiplicidad 2. Medir el grado de una ecuación por el número de soluciones es completamente erróneo. Y decir que x^2=0 tiene dos soluciones porque su solución es el cero dos veces es lo típico que aleja a cualquier persona no iniciada del aprendizaje las matemáticas. KISS!
#81 x^2 = 0 tiene dos soluciones. X= 0 . Dos veces. No una vez.
X^2 = 0 y x= 0 no tienen la misma solución. La primera tiene 2 soluciones x=0 y la segunda 1 solución x= 0. Si te parece lo mismo, solo decirte que precisamente por tener X^2 = 0 dos soluciones x= 0, tiende a cero antes que x = 0.
#86 Lo siento pero no. El numero de soluciones indica su velocidad de tendencia. Un polinomio de orden x tiene x soluciones (repetidas o no)., el numero de repeticiones (o raices) afectan a la respuests del sistema. (Teoría de Sistemas, Teoría de Control).
#81 Sorry. No. Leete a #86
#98 Desde un punto de vista puramente formal, aplicando la teoría de conjuntos, las soluciones de x2=0 son, por definición, los elementos del conjunto {x: x2 = 0}.

Tanto si estamos en R como en C, ese conjunto tiene un elemento, por lo tanto la ecuación x2=0 solamente tiene una solución.

Otra cosa es que en álgebra se hable de "soluciones múltiples", o se hable de que una solución está "dos veces" y cosas así, pero con la…   » ver todo el comentario
#98 No, tiene una solución, que es 0. Que algebraicamente quieras decir que tiene multiplicidad 2, pues vale, pero la solución a esa ecuación es única y vale 0. Si lo quieres ver de otra manera, la curva y=x^2 solo corta una vez al eje X. Si le dices a alguien que no, que corta dos veces porque al pasar por 0 el corte es doble, te va a decir que te vayas a tu casa.
#98 Por cierto, me leo a #86 y tampoco estoy de acuerdo. Decir que en el lenguaje matemático no se habla de "solución" sino de "ceros" y "raíces" es falso. Ese es el lenguaje del álgebra, no de las matemáticas. En matemáticas es perfectamente válido hablar de "solución" y para x^2=0 habrá dos ceros o dos raíces desde el punto de vista algebraico, pero esa ecuación solo tiene una solución, que es 0.
#107 Ok, tienes razón. #98 usa tu comentario para su argumento de "demostrarle" a #50 que su ecuación es de segundo grado porque tiene dos soluciones, y extendí a ti su argumento. Disculpa.
#105 #86 Es que además el razonamiento que estáis usando es inválido. Esta discusión proviene de que #50 preguntaba si realmente x^2 = 14 + 5 es una ecuación de segundo grado (él dudaba porque no tiene término de grado 1). Lo es porque el exponente de mayor grado es 2, ya está. Pero vuestro argumento es: "es de segundo grado porque tiene dos soluciones, porque la que parece que es solución única en realidad es doble, y esto lo sabemos porque es una ecuación de segundo grado". Típico argumento circular y por tanto inválido. Repito: la ecuación es de segundo grado porque su exponente de mayor grado es 2, ya está, irse a las soluciones no tiene ningún sentido. No se puede definir el grado de una ecuación por el número de soluciones.
#106
Pero vuestro argumento es: "es de segundo grado porque tiene dos soluciones, porque la que parece que es solución única en realidad es doble, y esto lo sabemos porque es una ecuación de segundo grado".

Eh, perdona, pero te has acelerado y has empezado a suponer cosas que yo nunca dije, y creo que #71 tampoco las dijo. Especialmente todo lo de "porque" son cosas que no hemos dicho.
Voy a citar palabras textuales que dijo #71 :
"El grado indica el número…   » ver todo el comentario
#47 buena suerte para medir un poste con la cinta métrica.
#52 me he bajado una APP en el móvil.... bienvenido al siglo XXI :troll:
Por cierto en que ayuda el teorema de pitágoras para saber la altura de un poste ¿donde estan mis catetos?
#56 tienes la distancia al poste y el ángulo hasta el tope del poste.
#72 Vale... no sabia que yo era toda una referencia! :hug:
No es el caso más complejo, pero me sigue alucinando que álguien hackee la realidad y encuentre la fórmula que lo define.
El problema de calcular el teorema de pitágoras es que hay que hacer raices cuadradas y ya ni me acuerdo de como se realizan....
#41 el algoritmo para las raíces cuadradas que te dieron en el cole es kk. Mira un método de Newton o algo así.
#42 realmente crees que voy a preocuparme de realizar una formula que jamás voy a necesitar (una cosa es aprenderla en la escuela porque nunca sabes cual profesión vas a tener) pero vamos... a diferencia de la regla de tres, el teorema de Pitágoras siempre lo he solucionado con una regla o una cinta métrica.
xD
Interesante artículo, #0 , gracias por compartirlo (a los <<ratitos>> que nos apasionan las matemáticas estas cosas nos parecen geniales)
#60 Gracias. Es un placer poder compartir. Un saludo.
Por ahí leí que ese teorema también sirve para calcular la reducción en el paso del tiempo que produce la velocidad.
Muy buen articulo (Pintagorras como lo llamaba mi profesor de algebra)
#100 Muchas gracias. Me alegra que haya gustado.
¿Es el que dice que la suma de los catetos cuadrados da parlamentarios a Vox?
#8 Mejor no mezclar las matemáticas con la política. Las matemáticas están por encima de todo eso {0x1f609} .
#10 De verdad,nlo dices? Los pitagóricos son de los más zumbados que hay por ahí.
#16 además siempre van en grupo los catetos y la hipotenusa ...
#16 Pues yo te aconsejo leer "El asesinato de Pitágoras", y creo que te gustará. ¿Te gusta leer, no?
c/c #10  media
#88 Mi mamá ya me avisó que esto me pasaría: estás en uns secta verdad, bueno culto como lo llamáis vosotros, el Culto cel Círculo de Lectores...
Pd: me lo apunto ;)
#10 Lo cual es un enorme problema, las matemáticas deberían estar por debajo de todo eso... :-D
#10 o por debajo q hay mucho negativo... Sin contar con los tarados imaginarios y los irracionales ya....
#8 evidentmente... Igual que la suma de las catetas a la cuadrada da votos a....
#8 solo te he votado positivo porque el resto del hilo es interesante, para que no quede oculto.
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